La symétrie des équations quadratiques

En première, on apprend à résoudre des équations quadratiques de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ en utilisant le discriminant. Mais on ne nous dit pas forcément comment cette formule est obtenue.

Et c’est bien dommage, car la preuve est à la portée de tout le monde.

Let’s go

La méthode classique consiste à “compléter le carré”, mais je n’ai jamais trouvé ça très naturel. Par contre, on peut retrouver la même chose avec un observation simple sur la symétrie de l’équation, et en utilisant une identité remarquable connue.

Déjà, simplifions l’équation en divisant tous les termes par $a$ ($a$ n’est pas nul, sinon ce n’est pas une équation quadratique) :

Posons $\beta = \frac b a$ et $\gamma = \frac c a$ (tu peux les voir comme $b$ et $c$ mis à l’échelle) et séparons la partie constante :

La seule chose embettante ici, c’est le terme en $x$. Sans lui, on pourrait prendre la racine carrée. Si on factorise:

Si seulement on avait le premier membre de la forme $(x-...)(x+...)$, le terme en $x$ disparaitrait…

Un changement de variable pour plus de clarté

Pourquoi ne pas tenter un changement de variable? Si on pose $y = x + \frac{\beta}{2}$, alors $x = y - \frac{\beta}{2}$ et on obtient:

C’est une identité remarquable, qui se réduit à:

On peut alors résoudre pour $y$ et revenir à $x$ plus tard.

Or on a que $x=y-\frac{\beta}{2}$, donc:

Et hop, on retrouve la formule

On se souvient que $\beta = \frac{b}{a}$ et $\gamma = \frac{c}{a}$, donc:

Et en mettant le contenu de la racine sur le même dénominateur:

Ce qui nous donne la formule générale:

Je donne des cours de maths en ligne, alors si ce genre d’approche t’aide à mieux comprendre, tu peux jeter un œil ici!